9 de febrero de 2023

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Matemáticas: el mosaico infinito | El juego de la ciencia

'Lagartos' de MC Escher.
‘Lagartos’ de MC Escher.

Vimos la semana pasada que 300 es un número «abundante», y que de la lista de números abundantes entre los 100 primeros parece ser igual; pero no es así: hay números abundantes infinitamente extraños, aunque si lo buscamos recorriendo la lista de naturales uno a uno, nos llevará mucho tiempo encontrar el primero y el más pequeño de ellos, es decir 945. Aunque Por extraño que parezca, basta con ver que todos los múltiplos de un número abundante son abundantes a su vez (¿por qué?).

Además de abundante, el número 300 es la suma de diez primos consecutivos:

300 = 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47

También es un número poligonal: 300 es específicamente el número 24 del triángulo.

Teselaciones irregulares

Hablamos la semana pasada de teselaciones regulares y semi-regulares, y dado que en el segundo caso podemos combinar todos los polígonos regulares que queramos, de cualquier tamaño y en cualquier proporción, parece que las posibilidades son muchas, si no ilimitadas. pero este no es el caso si el patrón es regular, es decir, el mismo en cada vértice de la configuración. De hecho, solo hay 8 teselaciones semi-regulares identificadas con esta notación:

3.3.3.3.6, 3.3.3.4.4, 3.3.4.3.4, 3.4.6.4, 3.6.3.6, 3.12.12, 4.6.12, 4.8.8

Que significan estos numeros?

Pero los numerosos mosaicos geométricos que encontramos en todas las edades y en todas las culturas no se adhieren a polígonos regulares. Veamos algunas de las formas que están formadas por un solo tipo de mosaico.

Las baldosas que más aparecen, junto a las cuadradas, son las rectangulares, que vemos en todo tipo de baldosas y construcciones de ladrillo. Y está claro que cada paralelogramo también puede procesar el plano, ya que solo necesitamos alargar los lados de un paralelogramo seminal y trazar el paralelo apropiado al mismo, equidistantes entre sí, para formar una malla homogénea.

Y dado que se puede formar un paralelogramo en cada triángulo uniéndole otro triángulo igual, cada triángulo puede procesar el plano.

Menos obvio es que el plano también se puede procesar con cualquier cuadrilátero, convexo o cóncavo. ¿Cómo se demuestra?

En algunos hexágonos irregulares, el avión se puede reproducir, pero no con todos. ¿Con que es posible?

La prohibición islámica de la reproducción de figuras humanas u otros animales favorece el desarrollo de una amplia iconografía basada en figuras geométricas y patrones repetitivos, como se aprecia en grandes monumentos históricos como la Alhambra (cuyos mosaicos y motivos ornamentales son profundamente estudiados por la El holandés es el grabador MC Escher). En los mosaicos árabes encontramos figuras habituales en otras culturas, como estrellas (entre ellas de 5, 8 o 12 puntas) o cristales, y otras muy características, como un peculiar pentágono de cinco lados iguales, con dos ángulos rectos, dos de 108 ° y uno de 144 °, dando lugar al llamado mosaico de El Cairo, como suele verse en las calles de la capital egipcia. Por lo general, se redondea, y yo lo hice, el valor de los ángulos de 108 ° y 144 °, ¿puedes encontrar el valor exacto del mismo?

El del mosaico de El Cairo es uno de los 15 pentágonos irregulares con los que se puede procesar el plano. No se ha demostrado (de lo que yo sé) que ya no existe, e invito a mis lectores entusiastas a encontrar un pentágono de teselación de tipo decimosexto, o a probar que no existe.

¿Podemos tomar el título de este episodio literalmente? ¿Es realmente infinito el número de mosaicos posibles?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 trabajos de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre los que se encuentran ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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